Question

3．设函数f（x）=（2-a）lnx+$\frac{2}{x}$+ax．
（1）当a=0时，求函数f（x）的极值；
（2）当a＜0时，试求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
当a=0时，$f（x）=2lnx+\frac{2}{x}$，
∴$f'（x）=\frac{2}{x}-\frac{2}{x^2}=\frac{2（x-1）}{x^2}$，
令f′（x）=0得x=1，f（x），f′（x）随x变化如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↙

故f（x）_极小值=f（1）=2，没有极大值；
（2）由题意，$f'（x）=\frac{2-a}{x}-\frac{2}{x^2}+a=\frac{{a{x^2}+（2-a）x-2}}{x^2}=\frac{（ax+2）（x-1）}{x^2}$，（x＞0）
因a＜0时，令f′（x）=0，得${x_1}=-\frac{2}{a}$，x₂=1，
①当$-\frac{2}{a}=1$时，即a=-2，f'（x）≥0，f（x）在（0，+∞）单调递增，
②当$-\frac{2}{a}＞1$时，即a＜-2，由f'（x）＞0得$1＜x＜-\frac{2}{a}$，所以增区间为$（1，-\frac{2}{a}）$
由f'（x）＜0得$0＜x＜1或x＞-\frac{2}{a}$，所以减区间为$（0，1），（-\frac{2}{a}，+∞）$，
③当$-\frac{2}{a}＜1$时，即-2＜a＜0，由f'（x）＞0得$-\frac{2}{a}＜x＜1$，所以增区间为$（-\frac{2}{a}，1）$，
由f'（x）＜0得$0＜x＜-\frac{2}{a}或x＞1$，所以减区间为$（0，-\frac{2}{a}），（1，+∞）$，
综上：①当a=-2，增区间（0，+∞），
②当a＜-2，增区间为$（1，-\frac{2}{a}）$，减区间为$（0，1），（-\frac{2}{a}，+∞）$，
③当-2＜a＜0，增区间为$（-\frac{2}{a}，1）$减区间为$（0，-\frac{2}{a}），（1，+∞）$．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．