Question

已知函数．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处有极值，求a的值；
（Ⅱ）记函数y=F（x）的图象为曲线C．设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲线C上的不同两点．如果在曲线C上存在点M（x，y），使得：①；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”．问函数f（x）是否存在“中值相依切线”，请说明理由；
（Ⅲ）求证：[（n+1）!]²＞（n+1）e^2（n-2）（n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求函数的定义域，然后求出导函数，根据f（x）在x=1处取得极值，则f'（1）=0，求出a的值，然后验证即可；
（II）假设函数f（x）的图象上存在两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得AB存在“中值相依切线”，根据斜率公式求出直线AB的斜率，利用导数的几何意义求出直线AB的斜率，它们相等，再通过构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可证明结论．
（3）由（2）可得，令x=n（n+1），则，写出n个式子，叠加即可证明结论．
解答：解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）．           
求导函数，可得f′（x）=-ax
∵f（x）在x=1处取得极值，
即f'（1）=1-a=0，∴a=1．                                                        
当a=1时，在（1，+∞）内f'（x）＜0，在（0，1）内f'（x）＞0，
∴x=1是函数y=f（x）的极大值点，∴a=1．
（Ⅱ）假设函数f（x）存在“中值相依切线”．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲线C上的不同两点，且0＜x₁＜x₂，
则y₁=lnx₁-ax₁²，y₂=lnx₂-ax₂²．
∴k_AB==
曲线在点M（x，y）处的切线斜率k=f'（x）==
依题意得：
即
设（t＞1），上式化为：，
即．…（12分）
令，
因为t＞1，显然g'（t）＞0，所以g（t）在（1，+∞）上递增，
显然有g（t）＞2恒成立．
所以在（1，+∞）内不存在t，使得成立．
综上所述，假设不成立．所以函数f（x）不存在“中值相依切线”．…（14分）
（3）证明：由（2）知，
令x=n（n+1），则，
所以，，，…，．
叠加得：ln[1×2²×3²×…×n²×（n+1）]＞2
则1×2²×3²×…×n²×（n+1）＞e^2（n-2），
所以[（n+1）!]²＞（n+1）•e^2（n-2），（n∈N^*）．
点评：本题考查应用导数研究函数的极值最值问题，考查不等式的证明，有关恒成立的问题一般采取分离参数，转化为求函数的最值问题，体现了转化的思想方法．