Question

热力公司为某生活小区铺设暖气管道，为减少热量损耗，管道外表需要覆盖保温层，经测算要覆盖可使用20年的保温层，每厘米厚的保温层材料成本为2万元，小区每年的热量损耗费用w（单位：万元）与保温层厚度x（单位：cm）满足关系：w（x）=

k

2x+1

（0≤x≤10）．若不加保温层，每年热量损耗费用5万元，设保温层费用与20年的热量损耗费用之和为f（x）．
（1）求k的值及f（x）的表达式；
（2）问保温层多厚时，总费用f（x）最小，并求最小值．

Answer 1

分析：（1）因为不加保温层，每年热量损耗费用5万元，所以将x=0时w=5代入w（x）求出参数k；求出保温层的费用为2x；求出20年的热量损耗费；将两者加起来为f（x）
（2）将f（x）中的2x写成（2x+1）-1，凑成乘积为定值；利用基本不等式求出f（x）的最小值，求出等号取到时对应的x的值．

解答：解：（1）由题意知：W（0）=5，?K=5，?f（x）=2x+

100

2x+1

（0≤x≤10）．
（2）∵f（x）=（2x+1）+

100

2x+1

-1≥20-1=19，当且仅当2x+1=

100

2x+1

，
即x=4.5时等号成立，
∴当保温层为4.5cm时，总费用最小且为19万元．

点评：本题考查将实际问题转化为函数的最值问题、考查通过观察在函数中凑出定值，利用基本不等式求出最值．注意利用基本不等式求函数最值需注意满足的条件：一正、二定、三相等．