Question

如图，圆A的方程为：（x+3）²+y²=100，定点B（3，0），动点P为圆A上的任意一点．线段BP的垂直平分线和半径AP相交于点Q，当点P在圆A上运动时，
（1）求|QA|+|QB|的值，并求动点Q的轨迹方程；
（2）设Q点的横坐标为x，记PQ的长度为f（x），求函数f （x）的值域．

Answer 1

分析：（1）连接QB，得出|QA|+|QB|为定值，由题意可知Q满足椭圆的定义，求a、b可得它的方程．
（2）由已知得|PQ|=|QB|，又由（1）知点Q的轨迹方程为：

x2

25

+

y2

16

=1，从而得出f（x）的表达式，最后求得函数f（x）的值域即可．

解答：解：（1）连接QB，由已知，得|QB|=|QP|，
所以，|QA|+|QB|=|QA|+|QP|=|OP|=10（3分）
又|AB|=6，10＞6，
根据椭圆的定义，点Q的轨迹是A，B为焦点，以10为长轴长的椭圆，
2a=10，2c=6，所以b=4，
所以，点Q的轨迹方程为：

x2

25

+

y2

16

=1（7分）
（2）由已知得|PQ|=|QB|，所以，f（x）=

(x-3)2+y2

（9分）
又点Q的轨迹方程为：

x2

25

+

y2

16

=1，所以，y2=16(1-

x2

25

)，代入上式，消去y，得
f（x）=

9 25 x2-6x+25

=|5-

3

5

x|
由-5≤x≤5，所以2≤5-

3

5

x≤8，所以f（x）的值域为[2，8]．

点评：本题主要考查了轨迹方程的问题．本题解题的关键是利用了椭圆的定义求得轨迹方程．本题考查圆的标准方程，点关于直线对称问题，轨迹的求法，是中档题．