Question

已知函数f（x）=x³-3a²x+b（a，b∈R）在x=2处的切线方程为y=9x-14．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）令函数g（x）=x²-2x+k
①若存在x₁，x₂∈[0，2]，使得f（x₁）≥g（x₂）能成立，求实数k的取值范围；
②设函数y=g（x）的图象与直线x=2交于点P，试问：过点P是否可作曲线y=f（x）的三条切线？若可以，求出k的取值范围；若不可以，则说明理由．

Answer 1

分析：（1）对函数求导，根据函数在x=2处的切线方程为y=9x-14，从线的斜率和点在线上两个方面来列出方程组，解方程组得到结果．
（2）①对函数求导，判断函数的单调性，根据单调性做出函数f（x）_max和g（x）_min的值，根据存在x₁，x₂∈[0，2]，使得f（x₁）≥g（x₂）成立 所以有f（x）_max≥g（x）_min，解出要求的结果．
②设出切点的坐标为（x₀，y₀），则有y₀=x₀³-3x₀+2，又切线的斜率为3x₀²-3，写出切线的方程，构造新函数，对对新函数求导，求出函数的单调区间和极值，得到结果

解答：解：（1）f′（x）=3x²-3a²由f（x）在x=2处的切线方程为y=9x-14
所以

f′(2)=9 f(2)=4

即

12-3a2=9 8-6a2+b=4

得

a2=1 b=2

故f（x）=x³-3x+2．
（2）①令f′（x）=0即3x²-3=0得x=±1
所以当x∈[0，1]时，有f′（x）＜0，此时f（x）递减
当x∈（1，2]时，有f′（x）＞0，此时f（x）递增
又因为f（0）=2，f（2）=4，有f（0）＜f（2）
所以f（x）_max=f（2）=4又知g（x）_min=g（1）=1-2+k=k-1
因为存在x₁，x₂∈[0，2]，使得f（x₁）≥g（x₂）成立 所以有f（x）_max≥g（x）_min
得：4≥k-1即k≤5
所以实数k的取值范围是（-∞，5]．
②由题意知P（2，k）
设切点坐标为（x₀，y₀），则有y₀=x₀³-3x₀+2又切线的斜率为3x₀²-3
所以其切线方程为：y-（x₀³-3x₀+2）=（3x₀²-3）（x-x₀）
因为切线过点P，故有k-（x₀³-3x₀+2）=（3x₀²-3）（2-x₀）
即k=-2x₀³+6x₀²-4因为过点P可以作曲线f（x）的三条切线
所以方程k=-2x₀³+6x₀²-4有三个不同的实数解
令h（x）=-2x³+6x²-4
则由h′（x）=-6x²+12x=0得x=0，x=2
当x∈（-∞，0），（2，+∞）时，有h′（x）＜0，此时h（x）递减
当x∈（0，2）时，有h′（x）＞0，此时h（x）递增
所以h（x）_极大=h（2）=4，h（x）_极小=h（0）=-4
所以-4＜k＜4
故k的取值范围是（-4，4）

点评：本题考查导数在最之中的应用，考查切线与函数导数的关系，解题的关键是构造新函数，利用函数的性质解决问题．