Question

已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，4，7，a，b，12，13.7，17.3，20（a＞0，b＞0），且总体的中位数为10.5，若总体的方差最小时，则函数f（x）=ax²+2bx+1的最小值是

-9.5

．

Answer 1

分析：根据这组数据的中位数，得到a+b=21，求出这组数据的平均数为10，得到总体的方差最小，只要两个数字的平方和最小，得到结果．

解答：解：∵个体的值由小到大依次为2，3，4，7，a，b，12，13.7，17.3，20（a＞0，b＞0），且总体的中位数为10.5，
∴a+b=21，
∵这组数据的平均数是

1

10

（2+3+4+7+a+b+12+13.7+17.3+20）
=

1

10

（2+3+4+7+21+12+13.7+17.3+20）=10，
若令M=（2-10）²+（3-10）²+（4-10）²+（7-10）²+（12-10）²+（13.7-10）²+（17.3-10）²+（20-10）²
∴这组数据的方差是

1

10

[（2-10）²+（3-10）²+（4-10）²+（7-10）²+（a-10）²+（b-10）²+（12-10）²+（13.7-10）²+（17.3-10）²+（20-10）²]
=

1

10

[M+（a-10）²+（b-10）²]=

1

10

[M+（a-10）²+（11-a）²]=

1

10

(2a2-42a+221+M)，
故当a=-

-42

2×2

=10.5时，总体的方差取得最小值．
∴要使该总体的方差最小，则有a=b=10.5，
则函数f（x）=ax²+2bx+1=10.5x²+21x+1=10.5（x+1）²-9.5≥-9.5
故答案为：-9.5

点评：本题考查方差和中位数，本题解题的关键是看清两个未知量的和，属于中档题．