Question

已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处，其重心是椭圆的一个焦点，求该椭圆离心率e的取值范围．

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：设出椭圆方程，根据其内接三角形的一个顶点是短轴的一个顶点，重心是一个焦点，利用向量求出已知顶点对边的中点，由该中点在椭圆内部列式求椭圆离心率的范围．
解答：不防设椭圆方程：（a＞b＞0），
再不妨设：B（0，b），三角形重心G（c，0），
延长BG至D，使|GD|=，
设D（x，y），则，，
由，得：，
解得：，．
而D是椭圆的内接三角形一边AC的中点，
所以，D点必在椭圆内部，
则．
把b²=a²-c²代入上式整理得：．
即．
又因为椭圆离心率e∈（0，1），
所以，该椭圆离心率e的取值范围是．
故选B．
点评：本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了椭圆离心率的求法，求椭圆离心率范围的关键是利用椭圆的性质及平面几何知识，找到含有a和c的不等式．此题是中档题．