Question

15．已知四边形ABCD满足AD∥BC，BA=AD=DC=$\frac{1}{2}$BC=a，E是BC的中点，将△BAE沿着AE翻折成△B₁AE，使平面B₁AE⊥平面ABCD，F，G分别为B₁D，AE的中点．
（1）证明：B₁E∥平面ACF；
（2）证明：平面B₁GD⊥平面B₁DC．

Answer 1

分析 （1）连接ED交AC于O，连接OF，利用AEDC为菱形，且F为B₁D的中点得到FO∥B₁E，利用线面平行的判定定理可证；
（2）连结GD，则DG⊥AE，又B₁G⊥AE，B₁G∩GD=G，判断AE⊥平面B₁GD，利用面面垂直的判定定理可证．

解答 证明：（1）连接ED交AC于O，连接OF，
∵AEDC为菱形，且F为B₁D的中点，
∴FO∥B₁E，…（6分）
又B₁E?面ACF，FO?平面ACF，
∴B₁E∥平面ACF   …（8分）
（2）证明：连结GD，则DG⊥AE，又B₁G⊥AE，B₁G∩GD=G，
∴AE⊥平面B₁GD．…（10分）
又AE∥DC，∴DC⊥平面B₁GD，又DC?平面B₁DC
∴平面B₁GD⊥平面B₁DC．…（12分）

点评 本题考查线面平行、面面垂直的判定定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．