Question

在数列{a_n}．中，如果对任意的n∈N，都有

an+2

an+1

-

an+1

an

=e（e为常数），则称数列{a_n}为比等差数列，e称为比公差．现给出下列命题：
①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；
②如果{a_n}是等差数列，{b_n}是等比数列，那么数列{a_nb_n}是比等差数列：
③斐波那契数列{F_n}不是比等差数列；
④若a_n=2^n-1•（n-1），则数列{a_n}为比等差数列，比公差e=2．
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

分析：①根据等比数列的定义可知

an+2

an+1

=

an+1

an

，满足比等差数列的定义，若等差数列为a_n=n，看其是否满足；
②如果{a_n}是等差数列，{b_n}是等比数列，设a_n=n，b_n=2ⁿ，看其是否满足比等差数列的定义；
③斐波那契数列{F_n}，根据斐波那契数列的性质进行化简变形，看其是否满足比等差数列的定义；
④若a_n=2^n-1•（n-1），代入

an+2

an+1

-

an+1

an

进行求解看是否是常数，综合可得答案．

解答：解：①等比数列

an+2

an+1

-

an+1

an

=0，满足比等差数列的定义，若等差数列为a_n=n，则

an+2

an+1

-

an+1

an

=

-1

n(n+1)

≠常数，故正确；
②如果{a_n}是等差数列，{b_n}是等比数列，设a_n=n，b_n=2ⁿ，则

(n+2)2n+2

(n+1)2n+1

-

(n+1)2n+1

n2n

≠常数，不满足比等差数列的定义，故不正确；
③斐波那契数列{F_n}，

an+2

an+1

-

an+1

an

=

an+1+an

an+1

-

an+an-1

an

≠常数，不满足比等差数列的定义，故正确；
④若a_n=2^n-1•（n-1），

an+2

an+1

-

an+1

an

=

-1

n(n-1)

≠常数，不满足比等差数列的定义，故不正确；
故答案为：①③

点评：本题考查新定义，解题时应正确理解新定义，同时注意利用列举法判断命题为假，属于难题．