Question

4．在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知a=$\sqrt{3}$c，cos2B=$\frac{1}{2}$，B为钝角．
（1）求B；
（2）若b=$\sqrt{7}$，求AC边上的高．

Answer 1

分析 （1）由范围B∈（$\frac{π}{2}$，π），利用二倍角的余弦函数公式可求cosB=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，进而可得B的值．
（2）由（1）利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，由余弦定理可求c，a的值，进而利用三角形面积公式可求AC边上的高．

解答 解：（1）∵B为钝角，B∈（$\frac{π}{2}$，π）
∴cosB＜0，
又∵cos2B=2cos²B-1=$\frac{1}{2}$，
∴解得：cosB=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得：B=$\frac{5π}{6}$．
（2）∵由（1）可得：sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{1}{2}$，a=$\sqrt{3}$c，b=$\sqrt{7}$，
∴由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，可得：7=a²+c²+$\sqrt{3}$ac=3c²+c²+$\sqrt{3}×\sqrt{3}c×c$，解得：c=1，a=$\sqrt{3}$，
设AC边上的高为x，则：$\frac{1}{2}$a•c•sinB=$\frac{1}{2}$b•x，即：$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{7}×x$，
解得：x=$\frac{\sqrt{21}}{14}$，即AC边上的高为$\frac{\sqrt{21}}{14}$．

点评 本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．