Question

19．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点F₁，F₂，梯形的顶点A，B在双曲线上且F₁A=AB=F₂B，F₁F₂∥AB，则双曲线的离心率的取值范围是（2，3）．

Answer 1

分析 由题意，设B（m，n），由双曲线的第二定义可得$\frac{2m}{m-\frac{{a}^{2}}{c}}$=$\frac{c}{a}$，求出m=$\frac{a}{e-2}$，利用m＞a，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：由题意，设B（m，n），则
由双曲线的第二定义可得$\frac{2m}{m-\frac{{a}^{2}}{c}}$=$\frac{c}{a}$，∴m=$\frac{a}{e-2}$，
∵m=$\frac{a}{e-2}$＞a，
∴2＜e＜3，
故答案为：（2，3）．

点评 本题考查双曲线的离心率、双曲线的第二定义，考查学生的计算能力，正确运用双曲线的第二定义是关键．