Question

点A、B、C、D在同一球的球面上，AB=BC=

2

，AC=2，若四面体ABCD体积的最大值为

2

3

，则这个球的表面积为

 

．

Answer 1

考点：球内接多面体,球的体积和表面积

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．

解答： 解：根据题意知，△ABC是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，
若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S_△ABC不变，高最大时体积最大，
所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为

1

3

S_△ABC×DQ=

2

3

，
即

1

3

×1×DQ=

2

3

，∴DQ=2，如图．
设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中，
OA²=AQ²+OQ²，即R²=1²+（2-R）²，∴R=

5

4

则这个球的表面积为：S=4π（

5

4

）²=

25

4

π；
故答案为：

25

4

π．

点评：本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值，是解答的关键．