Question

12．已知点A（-1，0），B（1，0）和动点P满足：存在正常数m，使得$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$+|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|=2m．
（1）求证：动点P的轨迹C为椭圆，并写出此椭圆方程；
（2）设直线l：y=x+1与曲线C相交于两点E，F，且与y轴的交点为D．若$\overrightarrow{DE}$=-（2+$\sqrt{3}$）$\overrightarrow{DF}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用椭圆的定义，轨迹方程的求法，可得动点P的轨迹C为椭圆，并写出此椭圆方程．
（2）由条件利用直线和圆锥曲线相交的性质、韦达定理，再利用两个向量的坐标形式的运算法则求得m的值．

解答 解：（1）在△PAB中，|AB|²=|PA|²+|PB|²-2|PA|•|PB|•cos∠APB，
∴4=（|PA|+|PB|）²-2|PA|•|PB|（1+cos∠APB）=（|PA|+|PB|）²-4m，
∴|PA|+|PB|=2$\sqrt{1+m}$，即点P的轨迹C为椭圆，其方程为：$\frac{x^2}{m+1}+\frac{y^2}{m}=1$（m＞0）．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}y=x+1\\ \frac{x^2}{m+1}+\frac{y^2}{m}=1\end{array}\right.$⇒（2m+1）x²+2（m+1）x+1-m²=0，
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），D（0，1），
则x₁+x₂=$\frac{-2（m+1）}{2m+1}$…①，x₁•x₂=$\frac{{1-{m^2}}}{2m+1}$…②，
又$\overrightarrow{DE}$=-（2+$\sqrt{3}$）$\overrightarrow{DF}$，∴（x₁，y₁-1）=-（2+$\sqrt{3}$）（x₂，y₂-1），
∴x₁=-（2+$\sqrt{3}$）x₂…③．
将③代入①②得$\left\{\begin{array}{l}（3+\sqrt{3}）{x_2}=\frac{-2（m+1）}{2m+1}\\（2+\sqrt{3}）{x_2}^2=\frac{{1-{m^2}}}{2m+1}\end{array}\right.$⇒m=$\frac{1}{2}$或m=-$\frac{1}{3}$．∵m＞0，∴m=$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查椭圆的定义，轨迹方程的求法，直线和圆锥曲线相交的性质，属于中档题．