Question

20. 设函数f（x）＝－ax，其中a＞0.

（Ⅰ）解不等式f（x）≤1；

（Ⅱ）证明：当a≥1时，函数f（x）在区间［0，＋∞）上是单调函数.

Answer 1

20.本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力.

（Ⅰ）解：不等式f（x）≤1即≤1＋ax，

由此得1≤1＋ax，即ax≥0，其中常数a＞0，

所以，原不等式等价于

即　                

所以，当0＜a＜1时，所给不等式的解集为｛x｜0≤x≤｝;

当a≥1时，所给不等式的解集为｛x｜x≥0｝.    

 

（Ⅱ）证明：在区间［0，＋∞）上任取x₁，x₂使得 x₁＜x₂.

f（x₁）－f（x₂）＝－－a（x₁－x₂）

 

＝－a（x₁－x₂）

 

＝（x₁－x₂）（－a）.        

 

∵＜1，且a≥1，

∴－a＜0.

又　x₁－x₂＜0，

∴f（x₁）－f（x₂）＞0，

即　f（x₁）＞f（x₂）.

所以，当a≥1时，函数f（x）在区间［0，＋∞）上是单调递减函数.