设函数
，其中
.
(1)当
时，求
的单调递增区间；
(2)求实数
的取值范围，使得对任意的
，都有
.
（1）
；（2）
【解析】（1）求导，根据导数大于零，求其单调增区间.
（2）解本题关键是做好以下转化：对任意的
，都有
，即
，
则
. 设函数
，则要使对任意的，都有
，须且只须
.
解：(1)当
时，
，则
，
……2分
由
，得
， ………………………………………………4分
所以
的单调递增区间为；……………………………………………6分
（2） 对任意的，都有，即，
则.
………………8分
设函数，则要使对任意的，都有，须且只须.下面求
的最大值.
………………10分
易得
，
，
由于，故
，于是
在
内单调递减，
注意到
，故当
时，
；当
时，
，
因此在
内单调递增，在
内单调递减，
……………13分
从而
.
所以
，即所求的实数
的取值范围是.
……………15分.
名校课堂系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
（本小题满分16分）设函数
，其中
.
（1）若
，求
在
的最小值；
（2）如果
在定义域内既有极大值又有极小值，求实数
的取值范围；
（3）是否存在最小的正整数
，使得当
时，不等式
恒成立.
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科目：高中数学 来源：2011年福建省福州市高二上学期期末考试数学文卷 题型：解答题
(本小题满10分)
设函数
，其中
.
（1）若
，求
在
的最小值；
（2）如果
在定义域内既有极大值又有极小值，求实数
的取值范围；
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科目：高中数学 来源：2012届福建省浦城县第一学期高二数学期末考试卷（文科） 题型：解答题
设函数
，其中
.
（1）若
，求
在
的最小值；
（2）如果
在定义域内既有极大值又有极小值，求实数
的取值范围；
（3）『附加题』是否存在最小的正整数
，使得当
时，不等式
恒成立.
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，其中
.
时，求不等式
的解集；
的解集为
，求
的值.
，其中
的单调区间；
时，证明不等式：
；