Question

已知a，b∈R，函数f(x)＝a＋ln(x＋1)的图象与g(x)＝x³－x²＋bx的图象在交点(0,0)处有公共切线．
(1)证明：不等式f(x)≤g(x)对一切x∈(－1，＋∞)恒成立；
(2)设－1＜x₁＜x₂，当x∈(x₁，x₂)时，证明：.

Answer 1

（1）见解析（2）见解析

(1)由题意得f′(x)＝，g′(x)＝x²－x＋b，x＞－1，
则解得 
∴f(x)＝ln(x＋1)(x＞－1)，g(x)＝x³－x²＋x.
令h(x)＝f(x)－g(x)
＝ln(x＋1)－x³＋x²－x(x＞－1)，
∴h′(x)＝－x²＋x－1＝－，
∴h(x)在(－1,0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，
∴h(x)≤h(0)＝0，∴f(x)≤g(x)．
(2)当x∈(x₁，x₂)时，由题意得－1＜x₁＜x＜x₂，
①设u(x)＝(x＋1)[f(x)－f(x₁)]－(x－x₁)，
则u′(x)＝ln(x＋1)－ln(x₁＋1)＞0，
∴u(x)＞u(x₁)＝0，即(x＋1)[f(x)－f(x₁)]－(x－x₁)＞0，
∴；
②设v(x)＝(x＋1)[f(x)－f(x₂)]－(x－x₂)，
则v′(x)＝ln(x＋1)－ln(x₂＋1)＜0，
∴v(x)＞v(x₂)＝0，即(x＋1)[f(x)－f(x₂)]－(x－x₂)＞0，
∴，
由①②得.