Question

6．已知F是抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，G、H是抛物线上的两点，|GF|+|HF|=3，线段GF的中点到y轴的距离为$\frac{5}{4}$．
（1）求抛物线的方程；
（2）如果过点P（m，0）可以作一条直线l，交抛物线于A、B两点，交圆（x-6）²+y²=4于C、D（自上而下依次为B、D、C、A），且$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PD}$，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由抛物线定义知：$\frac{5}{4}$+$\frac{p}{2}$=$\frac{3}{2}$，得p=$\frac{1}{2}$，即可求出抛物线的方程；
（2）由$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PD}$得$\overrightarrow{PA}$-$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PD}$-$\overrightarrow{PB}$，即$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{BD}$，可得x₁+x₂=x₄+x₃，分类讨论，即可求实数m的取值范围．

解答 解：（1）由抛物线定义知：$\frac{5}{4}$+$\frac{p}{2}$=$\frac{3}{2}$，得p=$\frac{1}{2}$…（2分）
故抛物线的方程为y²=x…（3分）
（2）由$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{PD}$
得$\overrightarrow{PA}$-$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PD}$-$\overrightarrow{PB}$，即$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{BD}$…（4分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
则$\overrightarrow{CA}$=（x₁-x₃，y₁-y₃），$\overrightarrow{BD}$=（x₄-x₂，y₄-y₂），
所以x₁-x₃=x₄-x₂，即x₁+x₂=x₄+x₃…（5分）
①当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=m，此时只需点P（m，0）在圆内即可，
故（m-6）²＜4，解得4＜m＜8…（6分）
②当直线l的斜率存在时，设l的斜率为k，则l的方程为y=k（x-m）（且m≠0）
代入抛物线方程得：k²x²-（2mk²+1）x+m²k²=0…（7分）
因为直线l与抛物线于A、B两点，所以△₁=4mk²+1＞0…①…（8分）
x₁+x₂=$\frac{2m{k}^{2}}{{k}^{2}}$
代入圆方程得：（1+k²）x²-2（mk²+6）x+m²k²+32=0
因为直线l与圆于C，D两点，所以△₂＞0，即k²（m-6）²＜4（1+k²）…②…（9分）
x₃+x₄=$\frac{2m{k}^{2}+12}{1+{k}^{2}}$
因为x₁+x₂=x₄+x₃，所以$\frac{2m{k}^{2}}{{k}^{2}}$=$\frac{2m{k}^{2}+12}{1+{k}^{2}}$，化简得k²=$\frac{1}{11-2m}$…（10分）
代入①②得，解得-2＜m＜$\frac{11}{2}$…（11分）
综合得实数m取值范围为（-2，$\frac{11}{2}$）…（12分）

点评 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，难度大．