Question

【题目】已知函数.

（1）若函数在处的切线斜率为2，试求a的值及此时的切线方程；

（2）若函数在区间（其中…为自然对数的底数）上有唯一的零点，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），；（2）或.

【解析】

（1）根据导数的几何意义求解即可；

（2）讨论参数的值，确定函数在区间的单调性，从而根据零点的个数，得出实数a的取值范围.

（1）由，（）.

由已知.

可得：

又此时.

所以所求的切线方程为：.

即：

（2），其中

①当时，在区间恒成立，在区间单调递增

又∵，∴函数在区间上有唯一的零点，符合题意.

②当时，在区间恒成立，在区间单调递减

又∵，∴函数在区间上有唯一的零点，符合题意.

③当时

（i）时，，单调递减

又∵，，∴函数在区间上有唯一的零点

（ii）当时，，单调递增

∴要使在区间上有唯一的零点，只有当时符合题意

即，即

∴时，函数在区间上有唯一的零点；

∴综上a的取值范围是或.