Question

已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.
(Ⅰ)证明：BN⊥平面C₁B₁N；
(Ⅱ)设直线C₁N与平面CNB₁所成的角为，求sin的值；
(Ⅲ)M为AB中点，在CB上是否存在一点P，使得MP∥平面CNB₁，若存在，求出BP的长;若不存在，请说明理由.

Answer 1

(Ⅱ)   (Ⅲ)当BP=1时MP∥平面CNB₁

(Ⅰ)证明∵该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,
∴BA,BC,BB₁两两垂直.
以BA,BC,BB₁分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则N(4,4,0),B₁(0,8,0),C₁(0,8,4),C(0,0,4)
∵=(4,4,0)·(-4,4,0)=-16+16=0
=(4,4,0)·(0,0,4)="0            "
∴BN⊥NB₁, BN⊥B₁C₁且NB₁与B₁C₁相交于B₁,
∴BN⊥平面C₁B₁N;                                           ……4分
(Ⅱ)设=(x,y,z)为平面NCB₁的一个法向量,
则，取=(1,1,2),   

则cosθ=;                           ……9分
(Ⅲ)∵M(2,0,0).设P(0,0,a)为BC上一点,则=(-2,0,a)，∵MP∥平面CNB₁,
∴⊥·=(-2,0,a) ·(1,1,2)=-2+2 a =0 a =1.              
又MP平面CNB₁,∴MP∥平面CNB₁,∴当BP=1时MP∥平面CNB₁. …14分