Question

如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，点M在线段EC上（除端点外）

（1）当点M为EC中点时，求证：平面；
（2）若平面与平面ABF所成二面角为锐角，且该二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积

Answer 1

（1）证明过程详见；（2）

试题分析：本题主要考查线线平行、线线垂直、线面平行、二面角、三棱锥的体积等基础知识，考查学生的空间想象能力和推理论证能力，考查用空间向量法解立体问题，考查学生的计算能力 第一问，取N为ED中点，利用中位线得，而，所以，所以ABMN为平行四边形，所以，所以利用线面平行的判定可得∥平面；第二问，用向量法解题，关键是建立空间直角坐标系，求出平面BDM和平面ABF的法向量，利用夹角公式求出，从而求出的值，即点M为EC中点，所以利用等体积转化法求三棱锥B DEM的体积 
试题解析：（1）证明 取中点，连结 在△中，分别为的中点，
则∥，且 由已知∥，，
因此，∥，且 所以，四边形为平行四边形  
于是，∥ 又因为平面，且平面，
所以∥平面          6分
（2）按如图建立空间直角坐标系，点与坐标原点重合 

设，则，又，设，则，即 
设是平面的法向量，则
, 
取，得，即得平面的一个法向量为   ……  10分
由题可知，是平面的一个法向量 
因此，，
即点为中点 此时，，为三棱锥的高，
所以，                   ………  12分