Question

3．如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点，求证：A₁C∥平面AB₁D．

Answer 1

分析 可取B₁C₁中点E，并且连接A₁E，CE，ED，则容易说明四边形B₁ECD为平行四边形，从而得到EC∥B₁D，这样便根据线面平行的判定定理得出EC∥平面AB₁D，而同理可说明A₁E∥平面AB₁D，这样便可得出平面A₁EC∥平面AB₁D，从而得出A₁C∥平面AB₁D．

解答 证明：如图，取B₁C₁中点E，连接A₁E，CE，ED；
D为BC的中点，E为B₁C₁中点；
∴B₁E=DC，且B₁E∥BC；
∴四边形B₁ECD为平行四边形；
∴EC∥B₁D，B₁D?平面AB₁D，EC?平面AB₁D；
∴EC∥平面AB₁D；
同理，四边形EDAA₁为平行四边形；
∴A₁E∥AD；
∴A₁E∥平面AB₁D；
又A₁E∩EC=E；
∴平面A₁EC∥平面AB₁D；
又A₁C?平面A₁EC；
∴A₁C∥平面AB₁D．

点评 考查平行四边形的定义，三棱柱的侧面为平行四边形，线面平行的判定定理，以及面面平行的判定定理，面面平行的性质．