Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ≤

π

2

）在（0，5π）内只取到一个最
大值和一个最小值，且当x=π时，函数取到最大值2，当x=4π时，函数取到最小值-2
（1）求函数解析式；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）是否存在实数m使得不等式f（

-m2+2m+3

）＞f（

-m2+4

）成立，若存在，求出m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数的最值求得A=2，由周期求得ω=

1

3

．再由当x=π时，函数取到最大值2，并结合0≤φ≤

π

2

，可得 φ=

π

6

，从而求得函数的解析式．
（2）令2kπ-

π

2

≤

x

3

+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．
（3）由于

-m2+2m+3

∈[0，2]，

-m2+4

∈[0，2]．要使不等式f（

-m2+2m+3

）＞f（

-m2+4

）成立，需

-m2+2m+3

＞

-m2+4

≥0，解此不等式求得m的范围．

解答：解：（1）由题意可得A=2，半个周期为

1

2

•

2π

ω

=4π-π=3π，∴ω=

1

3

．再由2sin（

1

3

•π+φ）=2，可得sin（

π

3

+φ）=1，
结合0≤φ≤

π

2

，可得 φ=

π

6

，故 f(x)=2sin(

1

3

x+

π

6

)．
（2）令2kπ-

π

2

≤

x

3

+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得 6kπ-2π≤x≤6kπ+π，故函数的增区间为[6kπ-2π，6kπ+π]（k∈Z）．
（3）由于-m²+2m+3=-（m-1）²+4≤4，0≤-m²+4≤4，∴

-m2+2m+3

∈[0，2]，

-m2+4

∈[0，2]．
要使不等式f（

-m2+2m+3

）＞f（

-m2+4

）成立，需

-m2+2m+3

＞

-m2+4

≥0，
解得

1

2

＜m≤2，故m的范围是 （

1

2

，2]．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，求函数y=Asin（ωx+φ）的单调区间，函数的单调性的应用，属于中档题．