Question

在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a，b，c，其中b=6，△ABC的面积为15．其外接圆半径为5．
（1）求sin2B的值；
（2）求△ABC的周长．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：计算题,解三角形

分析：（1）由正弦定理可得sinB=

b

2R

=

3

5

．又由S=

1

2

acsinB=15．且ac=50＞b²，可知∠B是锐角，即可求cosB=

4

5

，从而可得sin2B的值．
（2）由（1）及余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

4

5

，即可解得a+c的值，从而可求△ABC的周长．

解答： 解：（1）由正弦定理得，

b

sinB

=2R，
∴sinB=

b

2R

=

3

5

．
又∵△ABC的面积为15，
∴S=

1

2

acsinB=15．
∴ac=50＞b²．
∴a，c有一个比b大，
即∠B是锐角，
∴cosB=

4

5

，
∴sin2B=2sinBcosB=2×

3

5

×

4

5

=

24

25

．
（2）由（1）及余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

4

5

，
∴a²+c²=116，
∴（a+c）²=216，
∴a+c=6

6

，
∴△ABC的周长为a+b+c=6+6

6

．
故答案为：6+6

6

．

点评：本题考查正弦定理和余弦定理的应用，三角形面积公式和大边对大角的应用，属于难题．