Question

1．求函数$f（x）=\sqrt{{x^2}-2x+2}+\sqrt{{x^2}-4x+8}$的最小值为$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 把两个根号里进行变形，那么f（x）可看作为点C到点A和点B距离之和，利用对称得到最小值即可．

解答 解：函数$f（x）=\sqrt{{x^2}-2x+2}+\sqrt{{x^2}-4x+8}$
=$\sqrt{（x-1）^{2}+1}$+$\sqrt{（x-2）^{2}+4}$
=$\sqrt{（x-1）^{2}+（0-1）^{2}}$+$\sqrt{（x-2）^{2}+（0-2）^{2}}$，
可看作点C（x，0）到点A（1，1）和点B（2，2）的距离之和，
作点A（1，1）关于x轴对称的点A′（1，-1），
∴f（x）_min=|A'B|=$\sqrt{（2-1）^{2}+（2+1）^{2}}$=$\sqrt{10}$．
故答案为：$\sqrt{10}$．

点评 本题考查学生会利用两点间的距离公式求值，会利用对称得到距离之和最小．学生做题时注意数形结合解决问题．