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已知函数

(Ⅰ)当时,求的极值;

(Ⅱ)若在区间上是增函数,求实数的取值范围.

 

【答案】

(Ⅰ)极小值为1+ln2,函数无极大值;(Ⅱ).

【解析】

试题分析:(Ⅰ)首先确定函数的定义域(此步容易忽视),把代入函数,再进行求导,列的变化情况表,即可求函数的极值;(Ⅱ)先对函数求导,得,再对两种情况讨论(此处易忽视这种情况),由题意函数在区间是增函数,则恒成立,即不等式恒成立,从而再列出应满足的关系式,解出的取值范围.

试题解析:(Ⅰ)函数的定义域为,      1分

,当a=0时,,则,       3分

的变化情况如下表

x

(0,)

(,+∞)

-

0

+

极小值

∴当时, 的极小值为1+ln2,函数无极大值.                7分

(Ⅱ)由已知,得,  8分

,由,显然不合题意,       9分

∵函数区间是增函数,

恒成立,即不等式恒成立,

恒成立,  11分

,而当,函数,  13分

∴实数的取值范围为.                            14分

另解: ∵函数区间是增函数

恒成立,即不等式恒成立,

恒成立恒成立,

,由,显然不符合题意;

,由无解,显然不符合题意;

, ,故,解得,所以实数的取值范围为

考点:1、函数的极值;2、导函数的性质及综合应用.

 

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