已知函数
(Ⅰ)当时,求
的极值;
(Ⅱ)若在区间
上是增函数,求实数
的取值范围.
(Ⅰ)极小值为1+ln2,函数无极大值;(Ⅱ).
【解析】
试题分析:(Ⅰ)首先确定函数的定义域(此步容易忽视),把代入函数,再进行求导,列
的变化情况表,即可求函数的极值;(Ⅱ)先对函数求导,得
,再对
分
和
两种情况讨论(此处易忽视
这种情况),由题意函数
在区间
是增函数,则
对
恒成立,即不等式
对
恒成立,从而再列出
应满足的关系式,解出
的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)函数的定义域为, 1分
,当a=0时,
,则
, 3分
∴的变化情况如下表
x |
(0, |
|
( |
|
- |
0 |
+ |
|
|
极小值 |
|
∴当时,
的极小值为1+ln2,函数无极大值.
7分
(Ⅱ)由已知,得, 8分
若,由
得
,显然不合题意,
9分
若∵函数
区间
是增函数,
∴对
恒成立,即不等式
对
恒成立,
即 恒成立, 11分
故,而当
,函数
, 13分
∴实数的取值范围为
.
14分
另解: ∵函数区间
是增函数
,
对
恒成立,即不等式
对
恒成立,
设,
恒成立
恒成立,
若,由
得
,显然不符合题意;
若,由
,
无解,显然不符合题意;
若,
,故
,解得
,所以实数
的取值范围为
.
考点:1、函数的极值;2、导函数的性质及综合应用.
科目:高中数学 来源:2011届陕西省师大附中、西工大附中高三第七次联考理数 题型:解答题
(本题13分)
已知函数.
(1)当时,求
的单调区间;
(2)若在
单调增加,在
单调减少,证明:
<6.
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科目:高中数学 来源:2013届江西省高二下学期期中考试理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知函数.
(Ⅰ)当时,求
的极小值;
(Ⅱ)若直线对任意的
都不是曲线
的切线,求
的取值范围.
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年广东省梅州市高三年级10月月考文科数学试卷 题型:解答题
(满分14分)已知函数
(1)当时,求曲线
在点
处的切线方程;
(2)当时,讨论
的单调性
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