如图.2012年春节.摄影爱好者S在某公园A处.发现正前方B处有一立柱.测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°.已知S的身高约为3米(将眼睛距地面的距离按3米处理)(1)求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度,(2)立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60°的镜头.在彩杆转动� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，2012年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为

米（将眼睛距地面的距离按

米处理）
（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；
（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60°的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．

分析：（1）摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，则有∠CSB=30°，∠ASB=60°．SA=

，在Rt△SAB中，由三角函数的定义可求AB；再由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中由三角函数的定义可求OC，进而可求OB
（2）以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosα，sinα），α∈[0，2π），则N（-cosα，-sinα），由（Ⅰ）知S（3，-

），利用向量的数量积的坐标表示可求cos∠MSN=

•

|•|

∈[

，1]，结合余弦函数的性质可求答案．

解答：

解：（1）如图，不妨将摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，
依题意∠CSB=30°，∠ASB=60°．
又SA=

，故在Rt△SAB中，可求得BA=

tan30°

=3，
即摄影者到立柱的水平距离为3米．…（3分）
由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中OC=SC•tan30°=

，
又BC=SA=

，故OB=2

，即立柱的高度为2

米．…（6分）
（2）如图，以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐
标系．设M（cosα，sinα），α∈[0，2π），
则N（-cosα，-sinα），由（Ⅰ）知S（3，-

）．…（8分）
故

=（cosα-3，sinα+

），

=（-cosα-3，-sinα+

），
∴

•

=（cosα-3）（-cosα-3）+（sinα-

）（-sinα-

）=11（10分）
|

|•|

(cosθ-3)2+(sinθ+

(-cosθ-3)2+(-sinθ+

13-(6cosθ -2

sinθ)

13+(6cosθ -2

sinθ)

169-[4

cos(θ +

) ]2

169-48cos2(θ +

)

由α∈[0，2π）知|

|•|

|∈[11，13]…（12分）
所以cos∠MSN=

•

|•|

∈[

，1]，
∴∠MSN＜60°恒成立
故在彩杆转动的任意时刻，摄影者都可以将彩杆全部摄入画面

点评：本题考查的是解三角形的应用，解题的关键是准确理解基本概念：仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义及正弦、余弦定理．

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