Question

已知函数f（x）=2cosx（sinx-acosx）-a，其中a为常数，求函数y=f（x）的图象关于直线x=

π

8

对称的充要条件．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：三角函数的图像与性质

分析：根据充分条件和必要条件的定义结合两角和差的正弦公式，将函数进行化简即可得到结论．

解答： 解：f（x）=2cosx（sinx-acosx）-a=2sinxcosx-2acos²x-a
=sin2x-acos2x-2a=

a2+1

sin（2x+θ）-2a，其中tanθ=a，
若图象关于直线x=

π

8

对称，
则当直线x=

π

8

时，函数取得最大值或最小值，
即若取得最大值则

a2+1

-2a=sin

π

4

-acos

π

4

-2a=

2

2

-

2

2

a-2a，
即

a2+1

=

2

2

-

2

2

a=

2

2

（1-a），则a≤1，
平方得a²+1=

1

2

（1-a）²，
即（a+1）²=0，解得a=-1．
即若取得最小值则-

a2+1

-2a=sin

π

4

-acos

π

4

-2a=

2

2

-

2

2

a-2a，
即-

a2+1

=

2

2

-

2

2

a=

2

2

（1-a），则a≥1，
平方得a²+1=

1

2

（1-a）²，
即（a+1）²=0，解得a=-1不成立，
综上a=-1，
当a=-1时，f（x）=sin2x+cos2x+2=

2

sin（2x+

π

4

）+2，
当x=

π

8

时，f（

π

8

）=

2

sin（2×

π

8

+

π

4

）+2=

2

sin

π

2

+2=

2

+2函数取得最大值，
此时图象关于直线x=

π

8

对称，
故函数y=f（x）的图象关于直线x=

π

8

对称的充要条件是a=-1．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．考查学生的推理能力．