Question

（本小题共14分）

已知点为圆上的动点，且不在轴上，轴，垂足为，线段中点的轨迹为曲线，过定点 任作一条与轴不垂直的直线，它与曲线交于、两点。

   （1）求曲线的方程；

   （2）试证明：在轴上存在定点，使得总能被轴平分

Answer 1

（1）设为曲线上的任意一点，则点在圆上，

∴，曲线的方程为．   ………………2分       

（2）设点的坐标为，直线的方程为，　　………………3分　 　

代入曲线的方程，可得　

，　                      ………………5分            

∵，∴，

　 ∴直线与曲线总有两个公共点．（也可根据点M在椭圆的内部得到此结论）

                                                       ………………6分

设点,的坐标分别, ，

则，                                              

要使被轴平分，只要，            ………………9分

即，，        ………………10分

也就是，，

即，即只要　 ………………12分　 

当时，（＊）对任意的s都成立，从而总能被轴平分．

                                                  ………………13分

所以在x轴上存在定点，使得总能被轴平分．

                                                  ………………14分