Question

如图，已知直线L：的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，点A、B在直线G：x=a²上的射影依次为点D、E．
（1）若抛物线的焦点为椭圆C 的上顶点，求椭圆C的方程；（2）（理科生做）连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证明；
否则说明理由．
（文科生做）若为x轴上一点，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由已知得b=以及c=1，即可求出椭圆C的方程；
（2）（理科生做）先让m取0，求出点N的坐标，再猜想：当m变化时，AE与BD相交于此定点N．先利用斜率相等证明A、N、E三点共线同理可得B、N、D三点共线，即可证明结论．
（文科生做）直接求直线AN和直线NE的斜率，利用上面的过程得到二者斜率相等即可证明结论．
解答：解：（1）易知b=⇒b²=3，
又F（1，0），c=1，∴a²=b²+c²=4．
所以椭圆C的方程为：=1．
（2）（理科生做）因为F（1，0），k=（a²，0）
先探索，当m=0时，直线L⊥ox轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD相交于FK中点N，且
猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点．
证明：设设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），E（a²，y₂），D（a²，y₁），
当m变化时首先AE过定点N．
由⇒（a²+b²m²）y²+2mb²y+b²（1-a²）=0．△4a²b²（a²+m²b²-1）＞0，（因为a＞1）
且．y₁+y₂=-   ①，y₁•y₂=    ②．
因为K_AN=，K_EN=，
所以k_AN-K_EN=    ③，
把①②代入③整理得K_AN-K_EN=0．
∴K_AN=K_EN∴A、N、E三点共线同理可得B、N、D三点共线
∴AE与BD相交于定点．
（文科生做）．直接求出直线AN和直线NE的斜率，利用上面的推导过程可以得到二者斜率相等，故A、N、E三点共线．即可得：．
点评：题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系以及直线和直线之间的关系等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力及创新意识，考查化归与转化思想，数形结合思想以及特殊与一般思想．