Question

已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为，定点P，点在线段的中垂线上．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线与椭圆C交于M、N两点，直线的倾斜角分别为，求证：直线过定点，并求该定点的坐标．

 

Answer 1

【答案】

⑴由椭圆C的离心率得，其中，

椭圆C的左、右焦点分别为又点在线段的中垂线上

∴，∴解得c＝1，a2＝2，b2＝1，

∴椭圆的方程为　．   

⑵由题意，知直线MN存在斜率，设其方程为y＝kx＋m

由消去y，得（）＋4kmx＋＝0．

设M（），N（），则，

且，  

由已知α＋β＝π，得，即

化简，得

∴。整理得m＝－2k．

∴直线MN的方程为y＝k（x－2）因此直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）

【解析】略