Question

7．几何体的俯视图为一边长为2的正三角形，则该几何体的各个面中，面积最大的面的面积为（　　）

• A． 3
• B． $\sqrt{6}$
• C． 2
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由三视图知该几何体是一个直三棱柱沿截面切去上面几何体所剩下的四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由条件和面积公式求出棱长，求出其中较大面的面积，比较出该几何体的各个面中面积最大的面，即可得到答案．

解答 解：由三视图知几何体是：
一个直三棱柱沿截面ABC切去上面几何体所剩下的四棱锥C-ABDE，
直观图如图所示：B是棱的中点，
且三棱柱的底面是边长为2的正三角形，高是2，
由勾股定理得，AB=BC=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，AC=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{5-2}$=$\sqrt{6}$，
∵梯形ABDE的面积S′=$\frac{1}{2}×（1+2）×2$=3＞$\sqrt{6}$，
∴该几何体的各个面中面积最大的面是平面ABDE，
最大的面的面积是3，
故选：A．

点评 本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．