Question

函数f（x）=sin2ωx+2

3

cos²ωx-

3

（x∈R），ω＞0，函数f（x）的最小正周期为π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知g（x）的图象和f（x）的图象关于点M（

2π

3

，0）对称，求g（x）的单调增区间．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）通过二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数的表达式，通过周期公式即可求值；
（Ⅱ）通过函数g（x）和函数f（x）关于点（

2π

3

，0）对称，求出函数g（x）的表达式，利用余弦函数的单调减区间求出函数的单调增区间．

解答： 解：（1）∵f（x）=sin2ωx+2

3

cos²ωx-

3

=sin2ωx+2

3

×

1+cos2ωx

2

-

3

=2sin（2ωx+

π

3

）
∵T=

2π

2ω

=π
∴ω=1
∴f（x）=2sin（2x+

π

3

）
（2）（Ⅱ）因为函数g（x）和函数f（x）关于点（

2π

3

，0）对称，
所以g（x）=0-f（

π

3

-x）=-2sin[2（

π

3

-x）+

π

3

]=-2sin2x
由不等式2kπ+

π

2

≤2x≤

3π

2

+2kπ，得到x∈[kπ+

π

4

，kπ+

3π

4

]，k∈Z
所以函数g（x）的单调增区间为[kπ+

π

4

，kπ+

3π

4

]，k∈Z．

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，两角和的正弦函数的应用，函数的对称性，单调区间的求法，考查计算能力．