Question

已知定义在（-1，1）上的函数f（x）满足f(

1

2

)=1，且对任意x、y∈（-1，1）有f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)．
（Ⅰ）判断f（x）在（-1，1）上的奇偶性，并加以证明．
（Ⅱ）令x1=

1

2

，xn+1=

2xn

1+ x 2 n

，求数列{f（x_n）}的通项公式．
（Ⅲ）设T_n为{

2n-1

f(xn)

}的前n项和，若Tn＜

6-3m

2

对n∈N^*恒成立，求m的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用条件对任意x、y∈（-1，1）有f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)，进行赋值，借助于奇偶函数的定义，可得结论；
（Ⅱ）首先判断0＜x_n＜1，再证明{f（x_n）}是1为首项，2为公比的等比数列，即可数列{f（x_n）}的通项公式；
（Ⅲ）先求得Tn=2(

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

)，再用错位相减法求和，进而将Tn＜

6-3m

2

对n∈N^*恒成立，转化为

6-3m

2

≥6，由此可求m的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵对任意x、y∈（-1，1）有f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)…①
∴令x=y=0得f（0）=0；（1分）
令x=0由①得f（-y）=-f（y），
用x替换上式中的y有f（-x）=-f（x）（2分）
∴f（x）在（-1，1）上为奇函数．（3分）
（Ⅱ）{f（x_n）}满足x1=

1

2

＜1，则必有xn+1=

2xn

1+ x 2 n

＜

2xn

2xn

=1
否则若x_n+1=1则必有x_n=1，依此类推必有x₁=1，矛盾
∴0＜x_n＜1（5分）
∴f(xn+1)=f(

2xn

1+ x 2 n

)=f(

xn-(-xn)

1-xn•(-xn)

)=f（x_n）-f（-x_n）=f（x_n）+f（x_n）=2f（x_n）
∴

f(xn+1)

f(xn)

=2，
又f(x1)=f(

1

2

)=1
∴{f（x_n）}是1为首项，2为公比的等比数列，（7分）
∴f(xn)=2n-1（8分）
（Ⅲ）

2n-1

f(xn)

=

2n-1

2n-1

=2×

2n-1

2n

（9分）
故Tn=2(

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

)…②

1

2

Tn=2×(

1

22

+

3

23

+

5

24

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

)…③
②-③得

1

2

Tn=2×(

1

2

+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-

2n-1

2n+1

)=3-

2n+3

2n

（11分）
∴Tn=6-

2n+3

2n-1

＜6（12分）
∴若Tn＜

6-3m

2

对n∈N^*恒成立，则须

6-3m

2

≥6，解得m≤2（13分）
∴m的最大值为2．　　　　　　　（14分）

点评：本题考查函数的奇偶性，考查等比数列的证明与通项的求解，考查错位相减法求和，考查恒成立问题，解题的关键是赋值法的运用．