Question

设函数f（x）是定义在（-2，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x²，则不等式（x+2014）²f（x+2014）-f（-1）＞0的解集为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．

解答： 解由2f（x）+xf′（x）＞x²，（-2＜x＜0），
得：2xf（x）+x²f′（x）＜x³，
即[x²f（x）]′＜x³＜0，
令F（x）=x²f（x），
则当-2＜x＜0时，
得F′（x）＜0，即F（x）在（-2，0）上是减函数，
∴F（x+2014）=（x+2014）²f（x+2014），F（-1）=f（-1），
即不等式等价为F（x+2014）-F（-1）＞0，
即F（x+2014）＞F（-1），
∵F（x）在（-2，0）是减函数，
∴由F（x+2014）＞F（-1）得，
-2＜x+2014＜-1，
即-2016＜x＜-2015，
故答案为：（-2016，-2015）

点评：本题主要考查不等式的解法，利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．