Question

(x+

a

x

)8（a＞0）展开式中，中间项的系数为70．若实数x、y满足

x-y+1≥0 x+y≥0 x≤a

则z=x+2y的最小值是（　　）

• A．-1
• B．

  1

  2

• C．5
• D．1

Answer 1

分析：由题意可得，展开式中的中间项为共有9项，中间项为第5项，利用二项展开式的通项可求a，然后作出不等式组表示的平面区域，由z=x+2y可得，y=-

1

2

x+

1

2

z，则

1

2

z表示直线在y轴上的截距，截距越小，z越小，结合图形可求z的最小值

解答：解：由题意可得，展开式中的中间项为共有9项，中间项为第5项
∴T5=

C

4 8

x4(

a

x

)4=a4

C

4 8

x2
∴a4

C

4 8

=70
∵a＞0
∴a=1
∵

x-y+1≥0 x+y≥0 x≤a

，作出不等式组表示的平面区域，如图所示
由z=x+2y可得，y=-

1

2

x+

1

2

z，则

1

2

z表示直线在y轴上的截距，截距越小，z越小
当z=x+2y经过点B时，z最小，
由

x=1 x+y=0

可得B（1，-1），此时Z=-1
故选A

点评：本题主要考查了二项展开式的通项的应用，线性规划在求解目标函数中的最值中的应用，本题具有一定的综合性