Question

2．在直角坐标系中，圆C的方程是x²+y²-4x=0，圆心为C，在以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C₁：ρ=-4$\sqrt{3}$sinθ与圆C相交于A，B两点．
（1）求直线AB的极坐标方程；
（2）若过点C（2，0）的直线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t是参数）交直线AB于点D，交y轴于点E，求|CD|：|CE|的值．

Answer 1

分析 （1）先利用 x=ρcosθ，y=ρsinθ将曲线C₁的极坐标方程化为直角坐标方程，再与圆C的方程联立方程组解出交点坐标，从而得到AB的直角坐标方程，最后再将它化成极坐标方程即可；
（2）将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，利用参数的几何意义可求|CD|：|CE|的值．

解答 解：（1）在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，
极坐标与直角坐标有如下关系
 x=ρcosθ，y=ρsinθ，
曲线C₁：ρ=-$\sqrt{3}$sinθ，
∴ρ²=-4$\sqrt{3}$ρsinθ，
∴x²+y²=-4$\sqrt{3}$y，
∴曲线C₁：x²+y²+$\sqrt{3}$y=0，
∴直线AB的普通方程为：（x²+y²-4x）-（x²+y²+4$\sqrt{3}$y）=0，
∴y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴ρsinθ=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$ρcosθ，
∴tanθ=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直线AB极坐标方程为：θ=-$\frac{π}{6}$．
（2）根据（1）知，直线AB的直角坐标方程为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
根据题意可以令D（x₁，y₁），则
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2+\frac{\sqrt{3}}{2}{t}_{1}}\\{{y}_{1}=\frac{1}{2}{t}_{1}}\end{array}\right.$，
又点D在直线AB上，所以$\frac{1}{2}$t₁=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（2+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t₁），
解得 t₁=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
根据参数方程的定义，得
|CD|=|t₁|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
同理，令交点E（x₂，y₂），则有
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2+\frac{\sqrt{3}}{2}{t}_{2}}\\{{y}_{2}=\frac{1}{2}{t}_{2}}\end{array}\right.$，
又点E在直线x=0上，令2+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t₂=0，
∴t₂=-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴|CE|=|t₂|=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴|CD|：|CE|=1：2．

点评 本题主要考查圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式．要求学生能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化，属于中等题．