Question

定义，D={x∈R|x≠0}上的函数f（x）满足两个条件：①f（1）＞0； ②对于任意x、y∈D，都有f（x）f（y）-f（xy）=

x2+y2

xy

．
（Ⅰ）求f（1）的值，并求函数f（x）解析式；
（Ⅱ）求过点（-1，

1

4

）的曲线y=f（x）的切线的一般式方程．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）令x=y=1，代入即可得到f（1），再令y=1，即可得到f（x）的解析式；
（Ⅱ）设出切点，求出导数，求出切线的斜率，求得切线方程，代入已知点，解方程求出切点坐标，即可得到切线方程．

解答： 解：（Ⅰ）令x=y=1得，f²（1）-f（1）=2，
解得f（1）=-1（舍去）或f（1）=2，
则f（1）=2，
此时，令y=1得，即为f（x）f（1）-f（x）=

x2+1

x

，
则有f(x)=

x2+1

x

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=x+

1

x

，f′(x)=1-

1

x2

，
设过点(-1，

1

4

)的切线切曲线于(x0，x0+

1

x0

)，
则切线的斜率为1-

1

x 2 0

，
其方程为y-x0-

1

x0

=(1-

1

x 2 0

)(x-x0)，
把点(-1，

1

4

)的坐标代入整理得，5

x

2 0

-8x0-4=0，
解得x0=-

2

5

或x₀=2，
分别代入上述方程得所求的切线方程是y=-

21

4

x-5和y=

3

4

x+1，
即21x+4y+20=0和3x-4y+4=0．

点评：本题考查抽象函数及运用，考查赋值法的运用，考查导数的几何意义：曲线在该点处的切线的斜率，考查切线方程的求法，注意切点的确定，考查运算能力，属于基础题和易错题．