Question

已知x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）若x＞0时，f（x）＞0证明：f（x）在R上为增函数；
（3）已知f（1）=2，求f（x）在[-3，3]的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）赋值法：令x=y=0，可求得f（0），再令y=-x，可得f（-x）与f（x）的关系，根据奇偶性的定义即可判断；
（2）定义法：设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，通过作差及f（x+y）=f（x）+f（y）可证明f（x₂）＞f（x₁）；
（3）根据所给条件可判断f（x）的单调性，由单调性及f（1）=2即可求得最值；

解答：（1）解：令x=y=0，得f（x）=0，
令y=-x，得f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0）=0，
所以f（-x）=-f（x），
因此f（x）是R上的奇函数．
（2）证明：设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
所以f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
所以f（x₂）＞f（x₁）．
故f（x）在R上是增函数．
（3）解：因为f（1）=2，f（x+y）=f（x）+f（y），
所以所有的正数都可以用f（1）=2表示出来，且f（x）在[-3，3]上为增函数，
所以最大值为f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1）=6，
最小值为f（-3）=-f（3）=-6，
故所求最大值是6，最小值是-6．

点评：本题考查抽象函数的奇偶性、单调性及函数最值的求解，抽象函数问题主要运用定义解决．