Question

如图，直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，C₁C=CB=CA=2，AC⊥CB．D、E分别为棱C₁C、B₁C₁的中点．
（1）求A₁B与平面A₁C₁CA所成角的大小；
（2）求二面角B-A₁D-A的大小；
（3）试在线段AC上确定一点F，使得EF⊥平面A₁BD．

Answer 1

分析：法一：
（1）连接A₁C．由A₁B₁C₁-ABC为直三棱柱，知CC₁⊥底面ABC，CC₁⊥BC．由AC⊥CB，知BC⊥平面A₁C₁CA．所以∠BA₁C为A₁B与平面A₁C₁CA所成角，由此能求出A₁B与平面A₁C₁CA所成角的大小．
（2）分别延长AC，A₁D交于G．过C作CM⊥A₁G 于M，连接BM，由BC⊥平面ACC₁A₁，知CM为BM在平面A₁C₁CA内的射影，所以∠CMB为二面角B-A₁D-A的平面角，由此能求出二面角B-A₁D-A的大小．
（3）取线段AC的中点F，则EF⊥平面A₁BD．证明如下：由A₁B₁C₁-ABC为直三棱柱，知B₁C₁∥BC，由B₁C₁⊥平面A₁C₁CA，能证明EF⊥平面A₁BD．
解法二：
（1）同解法一
（2）由A₁B₁C₁-ABC为直三棱柱，C₁C=CB=CA=2，AC⊥CB，D、E分别为C₁C、B₁C₁的中点．建立空间直角坐标系得：C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，2，0），C₁（0，0，2），B₁（2，0，2），A₁（0，2，2），D（0，0，1），E（1，0，2）．用向量法求二面角B-A₁D-A的大小．
（3）F为AC上的点，故可设其坐标为（0，b，0），所以

EF

=(-1，b，-2)．由向量法证明EF⊥平面A₁BD．

解答：（本小题共13分）
解法一
解：（1）连接A₁C．∵A₁B₁C₁-ABC为直三棱柱，
∴CC₁⊥底面ABC，∴CC₁⊥BC．
∵AC⊥CB，∴BC⊥平面A₁C₁CA．
∴∠BA₁C为A₁B与平面A₁C₁CA所成角，
∠BA1C=arctan

BC

A1C

=arctan

2

2

．
∴A₁B与平面A₁C₁CA所成角为arctan

2

2

．
（2）分别延长AC，A₁D交于G．
过C作CM⊥A₁G 于M，连接BM，
∵BC⊥平面ACC₁A₁，
∴CM为BM在平面A₁C₁CA内的射影，
∴BM⊥A₁G，∴∠CMB为二面角B-A₁D-A的平面角，
平面A₁C₁CA中，C₁C=CA=2，D为C₁C的中点，
∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG中，
∴CM=

2 5

5

，∴tanCMB=

5

．
即二面角B-A₁D-A的大小为arctan

5

．
（3）取线段AC的中点F，则EF⊥平面A₁BD．
证明如下：
∵A₁B₁C₁-ABC为直三棱柱，∴B₁C₁∥BC，
∵由（1）BC⊥平面A₁C₁CA，∴B₁C₁⊥平面A₁C₁CA，
∵EF在平面A₁C₁CA内的射影为C₁F，当F为AC的中点时，
C₁F⊥A₁D，∴EF⊥A₁D．
同理可证EF⊥BD，
∴EF⊥平面A₁BD．
解法二：
（1）同解法一
（2）∵A₁B₁C₁-ABC为直三棱柱，C₁C=CB=CA=2，
AC⊥CB，D、E分别为C₁C、B₁C₁的中点．
建立如图所示的坐标系得：
C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，2，0），
C₁（0，0，2），B₁（2，0，2），A₁（0，2，2），
D（0，0，1），E（1，0，2）．
∴

BD

=(-2，0，1)，

BA1

=(-2，2，2)，
设平面A₁BD的法向量为

n

=（1，λ，μ），
∴

n • BD =0 n • BA1 =0.

即

-2+μ=0 -2+2λ+2μ=0.

得

λ=-1 μ=2.

∴

n

=(1，-1，2)．
平面ACC₁A₁的法向量为

m

=（1，0，0），cos＜

n

，

m

＞=

1

6

=

6

6

．
即二面角B-A₁D-A的大小为arccos

6

6

．
（3）F为AC上的点，故可设其坐标为（0，b，0），
∴

EF

=(-1，b，-2)．
由（2）知

n

=(1，-1，2)是平面A₁BD的一个法向量，
欲使EF⊥平面A₁BD，当且仅当

FE

∥

n

．
∴b=1，
∴当F为AC的中点时，EF⊥平面A₁BD．

点评：本题考查直线与平面所成角的求法、二面角的求法和直线与平面垂直的证明．解题时要认真审题，注意合理地把立体问题转化为平面问题．