Question

已知四棱锥P-ABCD底面ABCD是矩形，PA丄平面ABCD，AD=4，AB=2，E，F分别是线段AB和BC的中点．
（1）证明：DF⊥平面PAF
（2）在线段AP上找一点G，使得EG∥平面PFD．

Answer 1

分析：（1）证明AF⊥DF，利用PA丄平面ABCD，可得PA⊥DF，利用线面垂直的判定定理，即可得出结论；
（2）过点E作EH∥FD，交AD于点H，则EH∥平面PFD，且AH=

1

4

AD，再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG=

1

4

AP，从而平面GEH∥平面PFD，即可得出结论．

解答：（1）证明：连接AF，则AF=2

2

，DF=2

2

，
∵AD=4
∴AF²+DF²=AD²
∴AF⊥DF…（3分）
∵PA丄平面ABCD，
∴PA⊥DF，
∵PA∩AF=A
∴DF⊥平面PAF…（6分）
（2）解：过点E作EH∥FD，交AD于点H，则EH∥平面PFD，且AH=

1

4

AD．
再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG=

1

4

AP，
∴平面GEH∥平面PFD．…（10分）
∵EG?平面GEH，∴EG∥平面PFD．
从而满足AG=

1

4

AP的点G为所求．…（12分）

点评：本题考查线面垂直，线面平行，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面垂直，线面平行的判定定理是关键．