Question

【题目】已知点P（2，1）与Q关于原点O对称，直线PM，QM相交于点M，且它们的斜率之积是﹣ （Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过P作直线l交轨迹C于另一点A，求DPAO的面积的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设点M（x，y），…（1分） 因为点P（2，1）与Q关于原点O对称，所以Q（﹣2，﹣1），
因此，直线PM，QM的斜率之积是 =﹣ ，
化简，得 =1（x≠±2），
所以点M的轨迹C的方程为 =1（x≠±2）．
（Ⅱ）当直线PA的斜率不存在时，则直线PA的方程为x=2，
则点A的坐标为A（2，﹣1），S△AOP= =2．
当直线PA的斜率存在时，设斜率为k，则直线PA的方程为y﹣1=k（x﹣2），
设设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
由直线与椭圆，消去y得（4k2+1）x2﹣（16k2﹣8k）x+16k2﹣16k﹣4=0，
由已知△=16（2k+1）2＞0，所以k ，由题意，x1=2﹣ ，
则y1=﹣ +1，
|PA|= =
而原点O到直线l的距离为d= ，
所以S△AOP= =2|1﹣ |
因为k ，所以0＜|1﹣ |＜1，从而0＜S△AOP＜2综上可知，0＜S△AOP≤2．
【解析】（Ⅰ）设出点M的坐标，表示出直线MP、MQ的斜率，求出它们的斜率之积，利用斜率之积是﹣ ，建立方程，去掉不满足条件的点，即可得到点M的轨迹方程；（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程，结合题设条件求出三角形的面积，即可得出结论．