Question

设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+1）≥f（x），则称f（x）为M上的高调函数．现给出下列三个命题：
①函数f(x)=(

1

2

)x为R上的l高调函数；
②函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数；
③如果定义域是[-1，+∞）的函数f（x）=x²为[-1，+∞）上的m高调函数，那么实数m的取值范围[2，+∞）；
其中正确的命题是

②③

（填序号）

Answer 1

分析：根据高调函数的定义证明条件f（x+1）≥f（x）是否成立即可．

解答：解：①∵函数f（x）=（

1

2

）^x为R上的递减函数，故①不正确，
②∵sin2（x+π）≥sin2x
∴函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数，故②正确，
③如果定义域为[-1，+∞）的函数f（x）=x²为[-1，+∞）上m高调函数，则

m＞0 -2m+m2≥0

，解得m≥2，即实数m的取值范围[2，+∞），∴③正确．
故答案为：②③．

点评：本题主要考查与函数有关的新定义的应用，弄清新定义的本质，找到判断的标准是解本题的关键．