Question

（2011•万州区一模）若圆x²+y²-4x-4y-10=0上有且仅有三个不同点到直线l：y=kx的距离为2

2

，则直线l的倾斜角是（　　）

• A．

  π

  12

  或

  5π

  12

• B．

  π

  12

  或

  π

  4

• C．

  π

  6

  或

  π

  3

• D．0或

  π

  2

Answer 1

分析：把圆的方程化为标准方程，找出圆心A的坐标和半径r的值，由圆A上有且仅有三个不同点到直线l：y=kx的距离为2

2

，则圆心A到直线l的距离等于r-2

2

，故利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，然后根据直线斜率与倾斜角的关系，利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值即可求出直线l的倾斜角．

解答：解：把圆x²+y²-4x-4y-10=0化为标准方程得：（x-2）²+（y-2）²=18，
∴圆心A的坐标为（2，2），半径r=3

2

，又直线l的方程为y=kx，
根据题意画出图形得：

根据圆上有三不同点到直线l：y=kx的距离为2

2

，
得到圆心A到直线l的距离d=

|2k-2|

k2+1

=3

2

-2

2

=

2

，
解得：k=2+

3

或k=2-

3

，
又tan

π

12

=tan（

π

4

-

π

6

）=

1- 3 3

1+ 3 3

=2-

3

，tan

5π

12

=tan（

π

4

+

π

6

）=

1+ 3 3

1- 3 3

=2+

3

，
则直线l的倾斜角是

π

12

或

5π

12

．
故选A

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，两角和与差的正切函数公式，直线斜率与倾斜角的关系，以及特殊角的三角函数值，利用了转化及数形结合的思想，其中根据题意得出圆心到直线l的距离为

2

解本题的关键．