Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知直线与椭圆交于点， （在轴上方），且.设点在轴上的射影为，三角形的面积为2（如图1）.

（1）求椭圆的方程；

（2）设平行于的直线与椭圆相交，其弦的中点为.

①求证：直线的斜率为定值；

②设直线与椭圆相交于两点， （在轴上方），点为椭圆上异于， ， ， 一点，直线交于点， 交于点，如图2，求证： 为定值.

Answer 1

【答案】（1） (2) ①②

【解析】试题分析：（1）设，已知，即，所以，故，即,再根据椭圆经过解得，从而可得椭圆的方程；（2）设平行的直线的方程为，且，① 联立，得到，根据韦达定理求得， ，从而可得直线的斜率为定值，②由题意可知，求出.设，求出 的坐标，利用弦长公式分别求出的值，将用表示，化简消去即可的结论.

试题解析：（1）由题意，可设，已知，即，

所以，故，即；

又椭圆经过，即 ，解得；

故所求椭圆的方程为：

(2)设平行的直线的方程为，且，

① 联立，得到，

所以， ；

故，直线的斜率为（定值）

②由题意可知，

联立方程组得

设，先考虑直线斜率都存在的情形：

直线，

联立方程组： 得,

直线,

联立方程组： 得,

则，

，

所以

当直线斜率不存在时结果仍然成立.