已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.
(1)求k的值;
(2)探究函数f(x)=ax+(a、b是正常数)在区间
和
上的单调性(只需写出结论,不要求证明).并利用所得结论,求使方程f(x)-log4m=0有解的m的取值范围.
(1);
(2)函数f(x)=ax+ (a、b是正常数)在区间
上为减函数,在区间
上为增函数;
.
解析试题分析:(1)由已知函数的定义域为
关于原点对称,又是偶函数,则可根据偶函数的定义
(或者利用特殊值代入计算亦可,如
),得到一个关于
的方程,从而求出
的值;(2)由函数
在区间
上为减函数,在区间
上为增函数,结合是可知函数
在区间
上为单调递减函数,在区间
上为单调递增函数.由题意知方程
,即为方程
,若使方程有解,则对数式
的值要在函数
的值域范围内,所以首先要求出函数
的值域,对函数
进行化归得
,故原方程可化为
,令
,
,则
在区间
上为减函数,在区间
上为增函数,故函数
的最小值为
,即当
,
时函数
的值,所以函数
的值域为
,从而可求出
.
试题解析:(1)由函数f(x)是偶函数,可知.
∴.
即, 2分
, 4分
∴对一切
恒成立.∴
. 5分
(注:利用解出
,亦可得满分)
(2)结论:函数 (a、b是正常数)在区间
上为减函数,
在区间上为增函数. 6分
由题意知,可先求的值域,
. 8分
设,又设
,则
,由定理,知
在
单调递减,在
单调递增,所以
, 11分
∵为增函数,由题意,只须
,即
故要使方程有解,
的取值范围为
. 13分
考点:1.偶函数;2.对数函数;3.函数;4.复合函数值域.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数(a为常数)在x=1处的切线的斜率为1.
(1)求实数a的值,并求函数的单调区间,
(2)若不等式≥k在区间
上恒成立,其中e为自然对数的底数,求实数k的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=,x∈[1,3],
(1)求f(x)的最大值与最小值;
(2)若于任意的x∈[1,3],t∈[0,2]恒成立,求实数a的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
定义在上的函数
,如果对任意
,恒有
(
,
)成立,则称
为
阶缩放函数.
(1)已知函数为二阶缩放函数,且当
时,
,求
的值;
(2)已知函数为二阶缩放函数,且当
时,
,求证:函数
在
上无零点;
(3)已知函数为
阶缩放函数,且当
时,
的取值范围是
,求
在
(
)上的取值范围.
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