Question

18．某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动的次数与相对应的人数的对应关系如表：

次数	1	2	3	4
人数	1	4	4	1

现从这10人中随机选出2人作为该组代表在活动总结会上发言．
（Ⅰ）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为6”，求事件A发生的概率；
（Ⅱ）设X为选出的2人参加义工活动次数之和，求随机变量X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）从这10人中随机选出2人的基本事件个数为：${∁}_{10}^{2}$．设选出的2人参加义工活动次数之和为事件A，选出的2人中1人参加2次另一人参加4次为事件M，选出的2人均参加3次为事件N．事件M所含基本事件的个数为${∁}_{4}^{1}•{∁}_{1}^{1}$个，事件N所含基本事件的个数为${∁}_{4}^{2}$个，利用古典概率与互斥事件概率计算公式即可得出．
（Ⅱ）随机变量X的可能取值为3，4，5，6，利用相互定理与互斥事件概率计算公式及其数学期望计算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）从这10人中随机选出2人的基本事件个数为：$C_{10}^2=45$个．
设选出的2人参加义工活动次数之和为事件A，选出的2人中1人参加2次另一人参加4次为事件M，选出的2人均参加3次为事件N．
事件M所含基本事件的个数为$C_4^1•C_1^1=4$个，
事件N所含基本事件的个数为$C_4^2=6$个，
根据古典概型可知，$P（M）=\frac{4}{45}$，$P（N）=\frac{6}{45}$，
因为M和N互斥事件，且A=M+N
所以$P（A）=P（M+N）=P（M）+P（N）=\frac{10}{45}=\frac{2}{9}$…．（6分）
（Ⅱ）随机变量X的可能取值为3，4，5，6，7$P（X=3）=\frac{C_4^1•C_1^1}{{C_{10}^2}}=\frac{4}{45}$，$P（X=4）=\frac{C_4^1•C_1^1+C_4^2}{{C_{10}^2}}=\frac{10}{45}$，$P（X=5）=\frac{C_4^1•C_4^1+C_1^1•C_1^1}{{C_{10}^2}}=\frac{17}{45}$，$P（X=6）=\frac{C_4^1•C_1^1+C_4^2}{{C_{10}^2}}=\frac{10}{45}$，$P（X=7）=\frac{C_4^1•C_1^1}{{C_{10}^2}}=\frac{4}{45}$，
所以X的分布列如下：

X	3	4	5	6	7
P	$\frac{4}{45}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{17}{45}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{4}{45}$

EX=$3×\frac{4}{45}$+$4×\frac{2}{9}$+$5×\frac{17}{45}$+$6×\frac{2}{9}$+$7×\frac{4}{45}$=5．…．（13分）

点评 本题考查了古典概率计算公式、相互定理与互斥事件概率计算公式及其数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．