Question

在四棱锥 A-BCDE中，底面是直角梯形，其中 BC∥DE，∠BCD=90°，且 DE=CD=

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BC，又AB=AE=

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BC，AC=AD，
求证：面ABE⊥面BCD．

Answer 1

分析：取BE的中点M，CD的中点N，连接 AM，AN，MN，由等腰三角形可得AM⊥BE，AN⊥CD，在直角梯形BCDE中，由中位线可得MN∥BC，
而∠BCD=90°即MN⊥CD，所以CD⊥面AMN，CD⊥AM，AM⊥BE，由线面垂直的判定定理可得 AM⊥面BCD，进而得到面面垂直．

解答：证明：取BE的中点M，CD的中点N，连接 AM，AN，MN，
∵AB=AC
∴AM⊥BE 同理  AC=AD 有AN⊥CD
  在直角梯形BCDE中，
∵M、N分别是BE、CD的中点
∴MN∥BC
 又∵∠BCD=90°
∴MN⊥CD
∴CD⊥面AMN
∴CD⊥AM
 又∵AM⊥BE，CD、BE 是梯形的两个腰，即它们一定相交，
∴AM⊥面BCD，又AM?面ABE
∴面ABE⊥面BCD．

点评：本题主要考查线线，线面，面面垂直关系的转化与应用，考查的重点是垂直的判定定理和性质定理，是常考类型，属中档题．