【题目】(本题满分14分)如图,已知椭圆:,其左右焦点为及,过点的直线交椭圆于两点,线段的中点为,的中垂线与轴和轴分别交于两点,且、、构成等差数列.
(1)求椭圆的方程;
(2)记△的面积为,△(为原点)的面积为.试问:是否存在直线,使得?说明理由.
【答案】(1);(2)不存在直线,使得 .
【解析】
试题分析:(1)求椭圆的标准方程,由已知、、构成等差数列,即,由椭圆的定义可得,,由已知焦点为及,可得,可求出,从而得椭圆的标准方程;(2)记△的面积为,△(为原点)的面积为.试问:是否存在直线,使得?说明理由,这是探索性命题,一般假设其存在,本题假设存在直线,使得 ,由题意直线不能与轴垂直,故设方程为,将其代入,整理得 ,设,,由根与系数关系,表示出点的坐标,写出中垂线方程,得点的坐标,由于和相似,若,则,建立方程,求解斜率的值,若有解,则存在,若无解,则不存在.
试题解析:(1)因为、、构成等差数列,
所以,所以. (2分)
又因为,所以, (3分)
所以椭圆的方程为. (4分)
(2)假设存在直线,使得 ,显然直线不能与轴垂直.
设方程为 (5分)
将其代入,整理得 (6分)
设,,所以 .
故点的横坐标为.所以 . (8分)
因为 ,所以 , 解得 ,
即 (10分)
和相似,若,则 (11分)
所以 , (12分)
整理得 . (13分)
因为此方程无解,所以不存在直线,使得 . (14分)
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【题目】给出下列命题:
①一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真;
②若pq为假命题,则p,q均为假命题;
③命题“若x2 -3x+2=0,则x=2”的否命题为“若x2 -3x+2=0,则x≠2”;
④“若a2+b2=0,则a, b全为0”的逆否命题是“若a, b全不为0,则a2+b2≠0”其中正确的命题序号是( )
A.①B.①③C.②④D.③④
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【题目】(12分)
如图,四边形ABCD为梯形,AB//CD,平面ABCD,
为BC的中点.
(1)求证:平面平面PDE.
(2)在线段PC上是否存在一点F,使得PA//平面BDF?若存在,指出点F的位置,并证明;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=sinxcosx+cos2x-.
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;
(Ⅱ)将函数f(x)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象.若关于x的方程g(x)-k=0,在区间[0,]上有实数解,求实数k的取值范围.
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【题目】某研究性学习小组为了调查研究学生玩手机对学习的影响,现抽取了30名学生,得到数据如表:
玩手机 | 不玩手机 | 合计 | |
学习成绩优秀 | 8 | ||
学习成绩不优秀 | 16 | ||
合计 | 30 |
已知在全部的30人中随机抽取1人,抽到不玩手机的概率为.
(1)请将2×2列联表补充完整;
(2)能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为玩手机对学习有影响;
(3)现从不玩手机,学习成绩优秀的8名学生中任意选取两人,对他们的学习情况进行全程跟踪,记甲、乙两名学生被抽到的人数为X,求X的分布列和数学期望.
附:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
.
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【题目】校园准备绿化一块直径为的半圆形空地,点在半圆圆弧上,△外的地方种草,△的内接正方形为一水池(,在边上),其余地方种花,若, ,设△的面积为,正方形面积为;
(1)用和表示和;
(2)当固定,变化时,求最小值及此时的角;
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【题目】某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型,并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间(个月)和市场占有率()的几组相关对应数据:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
0.02 | 0.05 | 0.1 | 0.15 | 0.18 |
(1)根据上表中的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程;
(2)根据上述回归方程,分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势,并预测自上市起经过多少个月,该款旗舰机型市场占有率能超过(精确到月).
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