Question

【题目】设函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+1|（a＞0），g（x）=x+2．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≤g（x）的解集；
（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=1时，不等式f（x）≤g（x）即|2x﹣1|+|2x+1|≤x+2，

等价于 ①，或 ②，或 ③．

解①求得 x无解，解②求得0≤x＜ ，解③求得 ≤x≤ ，

综上，不等式的解集为{x|0≤x≤ }

（2）解：由题意可得|2x﹣a|+|2x+1|≥x+2恒成立，转化为|2x﹣a|+|2x+1|﹣x﹣2≥0 恒成立．

令h（x）=|2x﹣a|+|2x+1|﹣x﹣2= （a＞0），

易得h（x）的最小值为 ﹣1，令 ﹣1≥0，求得a≥2

【解析】（1）当a=1时，不等式等价于3个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）由题意可得，|2x﹣a|+|2x+1|﹣x﹣2≥0 恒成立．令h（x）=|2x﹣a|+|2x+1|﹣x﹣2，化简它的解析式，求得它的最小值，再令最小值大于或等于零，求得a的范围．
【考点精析】认真审题，首先需要了解绝对值不等式的解法(含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号)．