Question

16．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足下面三个条件：
①对任意正数a，b，都有f（a）+f（b）=f（ab）；
②当x＞1时，f（x）＜0；
③f（2）=-1
（I）求f（1）和$f（\frac{1}{4}）$的值；
（II）试用单调性定义证明：函数f（x）在（0，+∞）上是减函数；
（III）求满足f（log₄x）＞2的x的取值集合．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令a=b=1，代入计算即可求得f（1）=0；令a=b=2，求得f（4）=-2，令a=4，b=$\frac{1}{4}$，即可得到所求值；
（Ⅱ）运用单调性的定义证明，注意运用条件可得$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，即有f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＜0；
（Ⅲ）f（log₄x）＞2即为f（log₄x）＞$f（\frac{1}{4}）$，由（Ⅱ）f（x）在（0，+∞）上是减函数，可得不等式组，解得即可得到所求集合．

解答 解：（Ⅰ）令a=b=1，可得2f（1）=f（1），
解得f（1）=0；
令a=b=2，可得2f（2）=f（4）=-2，
令a=4，b=$\frac{1}{4}$，可得f（4）+f（$\frac{1}{4}$）=f（1）=0，
即有f（$\frac{1}{4}$）=-f（4）=2；
（Ⅱ）证明：设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
可得$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，即有f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＜0，
则f（x₂）=f（x₁•$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）=f（x₁）+f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＜f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数；
（Ⅲ）f（log₄x）＞2即为
f（log₄x）＞$f（\frac{1}{4}）$，
由（Ⅱ）f（x）在（0，+∞）上是减函数
所以$\left\{\begin{array}{l}{log_4}x＜\frac{1}{4}\\{log_4}x＞0\end{array}\right.$，即为$\left\{\begin{array}{l}{0＜x＜\sqrt{2}}\\{x＞1}\end{array}\right.$，
解得$1＜x＜\sqrt{2}$，
故不等式的解集为（1，$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查抽象函数的运用，考查赋值法求函数值的方法和运用单调性的定义证明得到，同时考查解不等式，注意运用单调性和函数的定义域，属于中档题和易错题．